Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，MBC頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1，2)，B(1，4)，C(3，2).

(1)求ΔABC外接圓E的方程；

(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)(0，4)，且與圓E相交所得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；

(3)在圓E上是否存在點(diǎn)P，滿足，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或； (3)不存在，理由見解析.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求△ABC外接圓E的方程；
（2）分類討論，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求直線的方程；
（3）求出P的軌跡方程，與圓E聯(lián)立，即可得出結(jié)論．

解：(1)設(shè)圓的一般方程為，

則，解得，

∴ΔABC外接圓E的方程為；

(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

聯(lián)立，解得或

此時(shí)弦長(zhǎng)為，滿足題意，

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即

聯(lián)立，得，

，解得或，

設(shè)直線與圓交于點(diǎn)E(，)，點(diǎn)F(，)，

則，

∵弦長(zhǎng)為，

∴，

解得，

∴直線的方程為，

綜上所求：直線的方程為或；

(3)假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，

∵，A(-1，2)，B(1，4)，

∴，即，

聯(lián)立，兩式相減得，

聯(lián)立，方程組無(wú)解，

∴圓E上不存在點(diǎn)P，滿足.