【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底， 是的中點。

（1）證明：直線平面；

（2）點在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值。

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1） 取的中點，連結(jié)， ，由題意證得∥，利用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量： ， ，然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值為．

試題解析：（1）取中點，連結(jié)， ．

因為為的中點，所以, ,由得，又

所以．四邊形為平行四邊形， ．

又， ，故

（2）

由已知得,以A為坐標(biāo)原點， 的方向為x軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則

則， ， ， ，

,則

因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，所以

，

即（x-1）+y-z=0

又M在棱PC上，學(xué)|科網(wǎng)設(shè)

由①，②得

所以M，從而

設(shè)是平面ABM的法向量，則

所以可取m=（0，-，2）.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值為

點睛:（1）求解本題要注意兩點：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進行向量運算，要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計算．

（2）設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與<m，n>互補或相等，故有|cos θ|＝|cos<m，n>|=．求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小圖給出了某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間（月）的關(guān)系的散點圖．有以下敘述：

①與函數(shù)相比，函數(shù)作為近似刻畫與的函數(shù)關(guān)系的模型更好；

②按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，第個月時，浮萍的面積就會超過；

③按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，浮萍每個月增加的面積約是上個月增加面積的兩倍；

④按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，浮萍從月的蔓延到至少需要經(jīng)過個月．

其中正確的說法有__________（填序號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為及時了解適齡公務(wù)員對開放生育二胎政策的態(tài)度，某部門隨機調(diào)查了90位30歲到40歲的公務(wù)員，得到情況如表：
（1）完成表格，并判斷是否有99%以上的把握認(rèn)為“生二胎意愿與性別有關(guān)”，并說明理由；
（2）現(xiàn)把以上頻率當(dāng)作概率，若從社會上隨機獨立抽取三位30歲到40歲的男公務(wù)員訪問，求這三人中至少有一人有意愿生二胎的概率．
（3）已知15位有意愿生二胎的女性公務(wù)員中有兩位來自省婦聯(lián)，該部門打算從這15位有意愿生二胎的女性公務(wù)員中隨機邀請兩位來參加座談，設(shè)邀請的2人中來自省女聯(lián)的人數(shù)為X，求X的公布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

男性公務(wù)員

女性公務(wù)員

總計

有意愿生二胎

30

15

無意愿生二胎

20

25

總計

附：

P（k2≥k0）

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點為極點，Ox軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程
（2）若直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ+cosθ）=1，求直線l被曲線C截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組： ，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】奧地利遺傳學(xué)家孟德爾1856年用豌豆作實驗時，他選擇了兩種性狀不同的豌豆，一種是子葉顏色為黃色，種子性狀為圓形，莖的高度為長莖，另一種是子葉顏色為綠色，種子性狀為皺皮，莖的高度為短莖。我們把純黃色的豌豆種子的兩個特征記作，把純綠色的豌豆的種子的兩個特征記作，實驗雜交第一代收獲的豌豆記作，第二代收獲的豌豆出現(xiàn)了三種特征分別為，，，請問，孟德爾豌豆實驗第二代收獲的有特征的豌豆數(shù)量占總收成的（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且側(cè)棱的長是，點分別是的中點.

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷售量（單位：噸）的影響，對近六年的年宣傳費和年銷售量()的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

年份（）

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年宣傳費（萬元）

23

25

27

29

32

35

年銷售量（噸）

11

21

24

66

115

325

（1）根據(jù)散點圖判斷與，哪一個更適合作為年銷售量（噸）與關(guān)于宣傳費（萬元）的回歸方程類型；

（2）規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量（噸）與年宣傳費（萬元）的比值大于1時，認(rèn)為該年效益良好，現(xiàn)從這6年中任選3年，記其中選到效益良好的數(shù)量為，試求的所有取值情況及對應(yīng)的概率；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖中求出樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的思想方法，求的平均數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量，，角，，為的內(nèi)角，其所對的邊分別為，，.

（1）當(dāng)取得最大值時，求角的大��；

（2）在（1）成立的條件下，當(dāng)時，求的取值范圍.

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