Question

【題目】已知不等式|2x﹣3|＜x與不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)2x﹣3≥0，即x≥ 時(shí)，不等式|2x﹣3|＜x可化為2x﹣3＜x，

解得x＜3，∴ ≤x＜3；

當(dāng)2x﹣3＜0，即x＜ 時(shí)，不等式|2x﹣3|＜x可化為3﹣2x＜x，

解得x＞1，∴1＜x＜ ；

綜上，不等式的解集為{x|1＜x＜3}；

∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集為{x|1＜x＜3}，

∴方程x2﹣mx+n=0的兩實(shí)數(shù)根為1和3，

∴ ，

∴m﹣n=4﹣3=1；

（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）

≥ （2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）

=3（ab+bc+ca）=3；

∴a+b+c的最小值是 ．

【解析】（Ⅰ）討論2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m、n的值；

（Ⅱ）根據(jù)a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用解一元二次不等式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求：求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊．