Question

2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是我國(guó)以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，則sin²θ-cos²θ的值等于（ ）

A．1
B．
C．
D．-

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)兩正方形的面積分別求出兩正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)等于直角三角形的長(zhǎng)直角邊減去短直角邊，利用三角函數(shù)的定義表示出5cosθ-5sinθ=1，兩邊平方并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得sin2θ的值，然后根據(jù)θ的范圍求出2θ的范圍即可判斷出cos2θ的正負(fù)，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系由sin2θ即可求出cos2θ的值．
解答：解：∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，
∴大正方形邊長(zhǎng)為5，小正方形的邊長(zhǎng)為1．
∴5cosθ-5sinθ=1，
∴cosθ-sinθ=．
∴兩邊平方得：1-sin2θ=，
∴sin2θ=．
∵θ是直角三角形中較小的銳角，
∴0＜θ＜．
∴sin²θ-cos²θ=-cos2θ=-．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．本題的突破點(diǎn)是將已知的兩等式兩邊平方