Question

設(shè)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且直線PA⊥平面ABCD．過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E，當(dāng)三棱錐E-BCD的體積取到最大值時，側(cè)棱PA的長度為

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：連接AC，作EF⊥AC于點F，可知EF為點E到平面BCD的距離，求EF取得最大值時PA的長度即可．

解答： 解，連接AC，作EF⊥AC于點F，可知EF為點E到平面BCD的距離，
則設(shè)PA=x，則PC=

2+x2

，
則sin∠APC=

2

2+X2

，
則EF=xsin∠APC•sin∠APC=

2x

2+x2

=

1

2+x2 2x

∵

2+x2

2x

=

1

x

+

x

2

≥2

1 x • x 2

=

2

（當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=

x

2

，即x=

2

時，等號成立）
∴

1

2+x2 2x

≤

1

2

=

2

2

即EF≤

2

2

．
則當(dāng)EF=

2

2

時，三棱錐E-BCD的體積取到最大值，
此時側(cè)棱PA的長度為

2

．

點評：本題考查了空間幾何體中的最值問題，常用到基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求解．