Question

【題目】如圖，在三棱錐 中， 平面 ， ， ， 分別在線(xiàn)段 上， ， ， 是 的中點(diǎn).

（1）證明： 平面 ；
（2）若二面角 的大小為 ，求 .

Answer 1

【答案】
（1）證明：取 的中點(diǎn) ，連接 ，則 ，所以 .

又 平面 ，所以 平面 .

又 是 的中位線(xiàn)，所以 ，

從而 平面 .

又 ，所以平面 平面 .

因?yàn)? 平面 ，所以 平面

（2） 解：以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在的直線(xiàn)分別為 軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo).

設(shè) ， ，則 ， ， ，則 ， ，

設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量，

則 即 取 ，

不難得到平面 的一個(gè)法向量為 ，

所以 ，所以 ，

在 中， .

【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)利用對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例性質(zhì)即可得出線(xiàn)線(xiàn)平行進(jìn)而得到線(xiàn)面平行，再利用中位線(xiàn)的性質(zhì)得到線(xiàn)線(xiàn)平行結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可得證。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面ABC和平面ABD的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值進(jìn)而可得到二面角的正切值。
【考點(diǎn)精析】掌握直線(xiàn)與平面平行的判定和平面與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行．