Question

【題目】如圖，在三棱錐 中， 平面 ， ， ， 分別在線段 上， ， ， 是 的中點(diǎn).

（1）證明： 平面 ；
（2）若二面角 的大小為 ，求 .

Answer 1

【答案】
（1）證明：取 的中點(diǎn) ，連接 ，則 ，所以 .

又 平面 ，所以 平面 .

又 是 的中位線，所以 ，

從而 平面 .

又 ，所以平面 平面 .

因?yàn)? 平面 ，所以 平面

（2） 解：以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在的直線分別為 軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo).

設(shè) ， ，則 ， ， ，則 ， ，

設(shè) 是平面 的一個法向量，

則 即 取 ，

不難得到平面 的一個法向量為 ，

所以 ，所以 ，

在 中， .

【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線利用對應(yīng)線段成比例性質(zhì)即可得出線線平行進(jìn)而得到線面平行，再利用中位線的性質(zhì)得到線線平行結(jié)合線面平行的判定定理即可得證。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面ABC和平面ABD的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值進(jìn)而可得到二面角的正切值。
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行．