【題目】21世紀城的街道都是東西向和南北向,為了加強安全管理,在一些十字路口設置保安亭(任何兩個保安亭都不在同一街道上),以兩個保安亭為其兩個頂點、街道為邊圍成的矩形稱為一個安全區(qū),安全區(qū)(包括邊界)內保安亭的個數(shù)稱為該安全區(qū)的安全強度.如果世紀城兩個方向的街道都至少有條,且任何兩條不平行的街道都交成一個十字路口,今按要求選定個十字路口設置保安亭,求安全強度最大的安全區(qū)的安全強度的最小值.

【答案】

【解析】

設最南、最東、最北、最西邊的一個保安亭分別為(可能有重合).分別過的東西向街道與分別過的南北向街道圍成一個矩形,則所有保安亭都在內.令,并用表示安全區(qū)的安全強度.

(1)若中至少有兩個不同點為的頂點,則本身為安全區(qū).此時,.

(2)若中恰有一個為的頂點(設為A).此時,的不含的兩邊上各有一個保安亭(設為).則三個安全區(qū)覆蓋了.于是,外的個保安亭都被上述三個安全區(qū)覆蓋.從而,至少有一個安全區(qū)覆蓋了這個保安亭中至少個保安亭.又覆蓋了中兩個點(以其中兩個點為頂點),

所以,.

(3)若都不是的頂點,則四個安全區(qū)覆蓋了中除矩形外的所有保安亭.又安全區(qū)覆蓋了矩形.于是, 外的個保安亭都被上述五個安全區(qū)覆蓋.從而,至少有一個安全區(qū)覆蓋了這個保安亭中至少個保安亭.

又覆蓋了中兩個點(以其中兩個點為頂點),所以,.

由上可見, .

其次,將個保安亭分為五組,各組保安亭個數(shù)及分布如圖所示,其中,邊界四組中有個組含有個保安亭,其他的組都含有個保安亭.

對其中任何兩個保安亭.

當屬于同一組時,.

當中恰有一個屬于中央一組時,安全區(qū)或者恰含中央一組中的一個點,或者恰含非中央一組中的一個點,所以,.

當都屬于邊界相鄰兩組時,安全區(qū)或者恰含其中一組中的一個點,或者恰含另一組中的一個點,所以,.

當都屬于邊界相對兩組時,安全區(qū)恰含這兩組中的一個點,且最多含有中央一組中的個點,所以,.

又顯然存在保安亭,使,因此,.

故.

練習冊系列答案
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【題目】在地面上同一地點觀測遠方勻速垂直上升的熱氣球，在上午10點整熱氣球的仰角是，到上午10點20分的仰角變成.請利用下表判斷到上午11點整時，熱氣球的仰角最接近哪個度數(shù)( )

0.5

0.559

0.629

0.643

0.656

0.669

0.682

0.695

0.707

0.866

0.829

0.777

0.766

0.755

0.743

0.731

0.719

0.707

0.577

0.675

0.810

0.839

0.869

0.900

0.933

0.966

1.0

A. B. C. D.

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【題目】平面內有12個點，其中任意三點不共線，每兩點連一條線段（或邊）。這些線段用紅、藍兩色染色，每條線段恰染一色，其中，從某點出發(fā)的紅色線段有奇數(shù)條，而從其余11個點出發(fā)的紅色線段數(shù)互不相同。求以已知點為頂點、各邊均為紅色的三角形個數(shù)及兩邊為紅色、另一邊為藍色的三角形個數(shù)。

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【題目】空氣質量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數(shù)，空氣質量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；>300為嚴重污染.一環(huán)保人士記錄了某地2020年某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示.

（1）利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個月總共有30天計算)

（2）若從樣本中的空氣質量不佳(AQI>100)的這些天中，隨機地抽取兩天深入分析各種污染指標，求該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率.

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【題目】如圖是的導函數(shù)的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（ ）.

A.在上是增函數(shù)；

B.當時，取得極小值；

C.在上是增函數(shù)、在上是減函數(shù)；

D.當時，取得極大值.

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【題目】如圖 1，在直角梯形中， ，且．現(xiàn)以為一邊向外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直， 為的中點，如圖 2．

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面；

（3）求與平面所成角的正弦值.

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【題目】某企業(yè)有，兩個分廠生產某種產品，規(guī)定該產品的某項質量指標值不低于130的為優(yōu)質品．分別從，兩廠中各隨機抽取100件產品統(tǒng)計其質量指標值，得到如圖頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出分廠的質量指標值的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；

（2）填寫列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為這兩個分廠的產品質量有差異？

優(yōu)質品

非優(yōu)質品

合計

合計

（3）（i）從分廠所抽取的100件產品中，利用分層抽樣的方法抽取10件產品，再從這10件產品中隨機抽取2件，已知抽到一件產品是優(yōu)質品的條件下，求抽取的兩件產品都是優(yōu)質品的概率；

（ii）將頻率視為概率，從分廠中隨機抽取10件該產品，記抽到優(yōu)質品的件數(shù)為，求的數(shù)學期望．

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線：（為參數(shù)），在以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

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【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求直線DQ與面PQC成角的正弦值

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