【題目】平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不共線,每?jī)牲c(diǎn)連一條線段(或邊)。這些線段用紅、藍(lán)兩色染色,每條線段恰染一色,其中,從某點(diǎn)出發(fā)的紅色線段有奇數(shù)條,而從其余11個(gè)點(diǎn)出發(fā)的紅色線段數(shù)互不相同。求以已知點(diǎn)為頂點(diǎn)、各邊均為紅色的三角形個(gè)數(shù)及兩邊為紅色、另一邊為藍(lán)色的三角形個(gè)數(shù)。

【答案】40,55

【解析】

解法1 注意到從每點(diǎn)引出的紅色線段只可能為0,1,…,11中的一種取值,而0、11不可能同時(shí)出現(xiàn),從而,有兩類(lèi)可能情形:

(1)0,1,…,10;

(2)1,2,…,11.

若為情形(2),當(dāng)點(diǎn)引出條紅色線段時(shí),不是整數(shù).從而,只可能為情形(1).

于是,除點(diǎn)外,另外11個(gè)點(diǎn)分別連出0,1,…,10條紅色線段.

此時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)連出條紅色線段(簡(jiǎn)稱紅邊),連出條紅邊.則點(diǎn)與除了點(diǎn)外的其余10個(gè)點(diǎn)均連了紅邊;點(diǎn)與除了點(diǎn)外的其余9個(gè)點(diǎn)均連了紅邊.

依此類(lèi)推,點(diǎn)與除點(diǎn)外的8個(gè)點(diǎn)連了紅邊;點(diǎn)與除點(diǎn)外的7個(gè)點(diǎn)連了紅邊;點(diǎn)與除點(diǎn)外的6個(gè)點(diǎn)連了紅邊.從而,點(diǎn)均為點(diǎn)連有紅邊.

由于點(diǎn)只連了5條紅邊(已連了紅邊),則點(diǎn)不與點(diǎn)連紅邊.

同理,點(diǎn)均不與點(diǎn)連紅邊.

故點(diǎn)處連了5條紅邊.

,.

中任意兩點(diǎn)無(wú)紅邊相連,而中任意兩點(diǎn)均有紅邊相連,且中任一點(diǎn)恰與個(gè)點(diǎn)連有紅邊.因此,以為頂點(diǎn)且三邊均為紅邊的三角形不存在,以為頂點(diǎn)且三邊均為紅邊的三角形有個(gè),以中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)且三邊均為紅邊的三角形有個(gè).故三邊均為紅邊的三角形個(gè)數(shù)為

.

兩邊為紅邊、另一邊為藍(lán)邊的三角形分為兩類(lèi):

(。┤切蔚囊粋(gè)頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)屬于,且從中一點(diǎn)中兩點(diǎn)引出的兩邊是一紅、一藍(lán)(中兩點(diǎn)連線皆為紅邊).

這類(lèi)三角形的個(gè)數(shù)為.

(ⅱ)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為),另兩個(gè)頂點(diǎn)屬于,且從點(diǎn)中兩點(diǎn)所引的均為紅邊(中兩點(diǎn)連線均為藍(lán)邊).

這類(lèi)三角形的個(gè)數(shù)為.

故兩邊為紅色、另一邊為藍(lán)色的三角形有35+20=55個(gè).

因此,所求個(gè)數(shù)分別為40、55.

解法2 同解法1知三邊均為紅色的三角形的個(gè)數(shù)為40.

對(duì)任何,以為一個(gè)頂點(diǎn)且與相連的兩邊均為紅邊的三角形的個(gè)數(shù)為,以為一個(gè)頂點(diǎn)且與相連的兩邊皆為紅邊的三角形的個(gè)數(shù)為,將所有這些三角形的個(gè)數(shù)加起來(lái)得.

在以上的和中,每一個(gè)具有兩條紅邊、一條藍(lán)邊的三角形只被計(jì)算一次,每個(gè)三邊均為紅邊的三角形均被計(jì)算三次,

從而,兩邊為紅色、一邊為藍(lán)色的三角形個(gè)數(shù)為175-3×40=55,故所求個(gè)數(shù)分別為40、55.

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