Question

9．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（n∈N^*），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，b_n=$\frac{2{S}_{n}+7}{n}$，則b_n取最小值時(shí)n的取值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（n∈N^*），利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：S_n，于是b_n=n+$\frac{7}{n}$+1，利用導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)f（x）=$x+\frac{7}{x}$的單調(diào)性，（x≥1），即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$，
∴b_n=$\frac{2{S}_{n}+7}{n}$=$\frac{n（n+1）+7}{n}$=n+$\frac{7}{n}$+1，
考察函數(shù)f（x）=$x+\frac{7}{x}$的單調(diào)性，（x≥1）
f′（x）=1-$\frac{7}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-7}{{x}^{2}}$，
可知：當(dāng)x∈[1，$\sqrt{7}$）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（$\sqrt{7}$，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
而f（2）=$2+\frac{7}{2}$+1=$\frac{13}{2}$，f（3）=3+$\frac{7}{3}$+1=$\frac{19}{3}$，f（2）＞f（3）．
∴b_n取最小值時(shí)n的取值為3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．