Question

19．已知命題p：t²-t-6≤0，命題q：?x∈R，$3{x^2}+2tx+t+\frac{4}{3}≤0$．
（Ⅰ）寫出命題q的否定￢q；
（Ⅱ）若￢p∧q為真命題，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用命題q的否定即可得出．
（II）利用復合命題的真假，一元二次不等式的解集與判別式的關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）命題q的否定￢q為：$?x∈R，3{x^2}+2tx+t+\frac{4}{3}＞0$…（4分）
（Ⅱ）若 p為真命題，則-2≤t≤3
故￢p為真命題時，得t＜-2或t＞3…（7分）
若q為真命題時，即$?x∈R，3{x^2}+2tx+t+\frac{4}{3}≤0$成立，
∴$△={（{2t}）^2}-4•3•（{t+\frac{4}{3}}）≥0$，即t²-3t-4≥0，
解得：t≥4或t≤-1…（9分）
∵?p∧q為真命題，
∴命題?p和q都是真命題             …（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}t＜-2或t＞3\\ t≥4或t≤-1\end{array}\right.$，
解得：t＜-2或t≥4…（12分）

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、一元二次不等式的解集與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．