Question

7．函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）對(duì)任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0，f（x）+f（x+$\frac{π}{2}$）=0，則f（$\frac{π}{4}$）=（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），由f（-x）+f（x）=0，可得φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，結(jié)合范圍0＜φ＜π，可求φ，由f（0）+f（$\frac{π}{2}$）=0，解得：ω=2k，k∈Z，又ω＞0，不妨取k=1，可得ω=2，可得解析式f（x）=2sin2x，即可計(jì)算求得f（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），f（-x）+f（x）=0，
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得：φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，可得f（x）=2sinωx，
∵對(duì)任意x∈R，f（x）+f（x+$\frac{π}{2}$）=0，可得：f（0）+f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴2sin0+2sin$\frac{π}{2}$ω=0，解得：$\frac{π}{2}$ω=kπ，k∈Z，解得：ω=2k，k∈Z，
∵ω＞0，不妨取k=1，可得ω=2，
∴f（x）=2sin2x，可得：f（$\frac{π}{4}$）=2sin（2×$\frac{π}{4}$）=2．　
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．