Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，曲線C上的任意一個(gè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x，y），則3x+4y的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得到圓心與半徑r，令3x+4y=t，由于點(diǎn)P（x，y）是曲線C上的任意一個(gè)點(diǎn)，可得圓心C（1，2）到直線的距離d≤r．利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：由曲線C的極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2x-4y+4=0，
化為（x-1）²+（y-2）²=1．可得圓心C（1，2），半徑r=1．
令3x+4y=t，
∵點(diǎn)P（x，y）是曲線C上的任意一個(gè)點(diǎn)，∴圓心C（1，2）到直線的距離d≤r．
∴

|3+4×2-t|

32+42

≤1，化為|t-11|≤5，解得6≤t≤16．
∴3x+4y的取值范圍為[6，16]．
故答案為：[6，16]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的公式、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．