Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足4S_n=a_n²+2a_n-8，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

Sn

n

+bn，數(shù)列{c_n}中是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)指出符合條件的項(xiàng)滿足的條件：若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用4S_n=a_n²+2a_n-8，再寫一式，兩式相減，結(jié)合數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11，求出公差，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，假設(shè)數(shù)列{c_n}中存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，建立等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n-8，
∴n≥2時(shí)，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-8，
兩式相減可得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2，
∵n=1時(shí)，4S₁=a₁²+2a₁-8，
∴a₁=4，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2，
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=

3

-5，b₂=

3

-11，
∴d=-6，
∴b_n=（

3

-5）-6（n-1）=-6n+

3

+1；
（2）4S_n=a_n²+2a_n-8=（2n+2）²+2（2n+2）-8=4n²+12n，
∴S_n=n²+3n，
∴c_n=

Sn

n

+bn=n+3-6n+

3

+1=-5n+

3

+4，
設(shè)數(shù)列{c_n}中存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則
（-5n+

3

+4）²=（-5m+

3

+4）（-5p+

3

+4），
∴25n²-25mp=10（

3

+4）（n-m-p），
∵等式左邊是有理數(shù)，
∴

n2=mp n=m+p

，
∴（m+p）²=mp，
∴m²+mp+p²=0，
∵方程無(wú)解，
∴數(shù)列{c_n}中不存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．