Question

如圖，現(xiàn)要在邊長(zhǎng)為100m的正方形ABCD內(nèi)建一個(gè)交通“環(huán)島”．以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心在四個(gè)角分別建半徑為xm（x不小于9）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個(gè)半徑為

1

5

x2m的圓形草地．為了保證道路暢通，島口寬不小于60m，繞島行駛的路寬均小于10m．
（1）求x的取值范圍；（運(yùn)算中

2

取1.4）
（2）若中間草地的造價(jià)為a元/m²，四個(gè)花壇的造價(jià)為

4

33

ax元/m²，其余區(qū)域的造價(jià)為

12a

11

元/m²，當(dāng)x取何值時(shí)，可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題目中的不等關(guān)系列出關(guān)于x的不等式組，求解即可；
（2）建立“環(huán)島”的整體造價(jià)y與x的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求出y取最小值時(shí)x的取值即可．

解答： 解：（1）由題意可知，

x≥9 100-2x≥60 100 2 -2x-2× 1 5 x2≥2×10

，
解得，

x≥9 x≤20 -20≤x≤15

，
又由

100

2

-

1

5

x²≥10，
解可得-14≤x≤14，
即9≤x≤14．
（2）記“環(huán)島”的整體造價(jià)為y元．
則由題意得，
y=aπ×(

1

5

x2)2+

4

33

ax×πx2+

12a

11

×(104-π×(

1

5

x2)2-πx2)
=

a

11

[π(-

1

25

x4+

4

3

x3-12x2)+12×104]．
令f(x)=-

1

25

x4+

4

3

x3-12x2，
則f′(x)=-

4

25

x3+4x2-24x
=-4x(

1

25

x2-x+6)．
由f′（x）=0得，
x=10或x=15．

∴當(dāng)x=10時(shí)，y取最小值．
答：當(dāng)x=10m時(shí)，可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等關(guān)系列不等式，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用．屬于中檔題．