Question

14．已知函數(shù)f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，
（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上的極值點的個數(shù)；
（Ⅲ）是否存在a，使得f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上與x軸相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）若a=0，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）利用導(dǎo)數(shù)分別討論a的取值，進而討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上的極值點個數(shù)；
（III）假設(shè)存在a，使得f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上與x軸相切，則f（x）必與x軸相切于極值點處，利用導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系進行討論．

解答 解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=（xlnx-1）e^x，（x＞0）
導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x+1）e^xlnx，
所以x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0．
可得f（x）的減區(qū)間為（0，1），f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，令m（x）=lnx+xlnx+ax+a²
m′（x）=$\frac{1}{x}$+lnx+1+a，又令φ（x）=$\frac{1}{x}$+lnx+1+a
φ′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$．x∈（0，1）時，φ（x）＜0，φ（x）遞減；
x∈（1，+∞），φ（x）＞0，φ（x）遞增．
m（x）_min=m′（1）=2+a≥0，所以m（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）單調(diào)遞增，
m（$\frac{1}{e}$）=（a-1）（a+1+$\frac{1}{e}$），
①m（$\frac{1}{e}$）≥0，即：-2≤a≤-1-$\frac{1}{e}$或a≥1時m（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上無零點，f（x）無極值點
②m（$\frac{1}{e}$）＜0，即：-1-$\frac{1}{e}$＜a＜1，m（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上有唯一零點，f（x）有唯一極值點．
（Ⅲ）假設(shè)存在a，使得f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上與x軸相切，
則f（x）必與x軸相切于極值點．
由（2）可知-1-$\frac{1}{e}$＜a＜1，設(shè)極值點為x₀
$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）=（ln{x}_{0}+{x}_{0}ln{x}_{0}+a{x}_{0}+{a}^{2}）{e}^{{x}_{0}}=0}\\{f（x）=（{x}_{0}ln{x}_{0}+a{x}_{0}+{a}^{2}-a-1）{e}^{{x}_{0}}=0}\end{array}\right.$，
聯(lián)立得x₀=e^-（a+1）代入上式得e^-（a+1）+（a+1）-a²=0
令t=-（a+1），t∈（-2，$\frac{1}{e}$），h（t）=e^t-t-（t+1）²
h′（t）=e^t-2t-3，h″（t）=e^t-2＜0
h′（t）在t∈（-2，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，h′（-2）=e^-2+1＞0，$h′（\frac{1}{e}）$＜0
∴h′（t）在t∈（-2，$\frac{1}{e}$）上存在唯一零點t₀
即當t∈（-2，t₀）時，h′（t）＞0，h（t）單調(diào)遞增，當t∈（t₀，$\frac{1}{e}$）時，h（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減
h（-2）＞0，h（$\frac{1}{e}$）＜0，所以h（t）在t∈（-2，t₀）上無零點，在t∈（t₀，$\frac{1}{e}$）上有唯一零點
h（0）=0，a+1=0，a=-1
所以存在a=-1，使得f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上與x軸相切．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，綜合性較強，運算量較大，考查學(xué)生的運算能力，是一道難度非常大的難題．