Question

9．已知實數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，則下列不等式恒成立的是（　　）

• A． e^x₁-e^x₂＜lnx₁-lnx₂
• B． e^x₁-e^x₂＞lnx₁-lnx₂
• C． x₁e^x₂＜x₂e^x₁
• D． x₁e^x₂＞x₂e^x₁

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)分別考查函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，函數(shù)g（x）=e^x-lnx在x∈（0，1上的單調(diào)性即可得出．

解答 解：考查函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的單調(diào)性，x∈（0，1），f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵實數(shù)0＜x₁＜x₂＜1，∴$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$＞$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，即${x}_{1}{e}^{{x}_{2}}$＜${x}_{2}{e}^{{x}_{1}}$，因此C正確．
同理考查：函數(shù)g（x）=e^x-lnx在x∈（0，1）上存在極值，不具有單調(diào)性，因此A，B都不正確．
故選：C．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．