Question

20．如圖，一個由半圓和長方形組成的鐵皮，已知長方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB=1，BC=2，現(xiàn)要將此鐵皮剪成一個等腰三角形PMN，且底邊MN⊥BC，求剪下的鐵皮△PMN的面積的最大值．

Answer 1

分析 設∠MOQ=θ，由θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，結合銳角三角函數(shù)的定義可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面積公式S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$（1+sinθ）（1+cosθ）展開利用換元法，轉化為二次函數(shù)的最值求解．

解答 解：設∠MOQ=θ，∴θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，MQ=sinθ，OQ=cosθ
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$（1+sinθ）（1+cosθ）
=$\frac{1}{2}$（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（6分）
令sinθ+cosθ=t∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$（t+1+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$）
θ=$\frac{π}{4}$，當t=$\sqrt{2}$，
∴S_△PMN的最大值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．…（11分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應用及利用三角函數(shù)求解函數(shù)的最值，換元法的應用是求解的關鍵．