Question

18．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距為2$\sqrt{3}$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由 $2c=2\sqrt{3}，2a=4$，$a=2，c=\sqrt{3}$，b²=a²-c²，聯(lián)立基礎(chǔ)即可得出．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：y=x，將y=x代入橢圓方程，解得x即可得出．
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（Ⅰ）   $2c=2\sqrt{3}，2a=4$，$a=2，c=\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：y=x，
將y=x代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，解得$x=±\frac{2}{5}\sqrt{5}$
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為$d=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
聯(lián)立消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
所以$（1+{k^2}）\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，整理得5m²=4（1+k²），
所以點(diǎn)O到直線AB的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
綜上可知點(diǎn)O到直線AB的距離為定值$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次的根與系數(shù)、向量垂直與數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．