Question

18．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥2}\\{2x+y≤4}\\{4x-y≥-1}\end{array}\right.$，則z=y-2x的取值范圍是[-4，2]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由z=y-2x，得y=2x+z，
作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域，
平移直線(xiàn)y=2x+z，
由平移可知當(dāng)直線(xiàn)y=2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，
直線(xiàn)y=2x+z在y軸的截距最小，此時(shí)z取得最小值，
當(dāng)直線(xiàn)y=2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線(xiàn)y=2x+z在y軸的截距最大，此時(shí)z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{4x-y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，3）
將B（2，0）代入z=y-2x，得z=0-2×2=-4，
即z=y-2x的最小值為-4．
將A（$\frac{1}{2}$，3）代入z=3-2×$\frac{1}{2}$，得z=3-1=2，
即z=y-2x的最大值為2．
即-4≤z≤2，
故答案為：[-4，2]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．