Question

10．從圓C：（x-2）²+（y-3）²=1外-點P（a，b）向圓引切線PT，T為切點，且PT=PO（O為原點）．
（1）求a，b滿足的關系；
（2）求PT的最小值及此時P點坐標．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標和半徑，由兩點的距離公式，由切線長等于P到O點的距離列式求得P的軌跡方程；
（2）由（1）得P得軌跡為直線，把|PT|的值轉化為|PO|的值，由點到直線的距離公式求解原點到直線的距離，可得|PT|的最小值及P的坐標．

解答 解：（1）由（x-2）²+（y-3）²=1．
可得圓心C的坐標為（2，3），半徑等于1．
由P（a，b），則|PT|²=（a-2）²+（b-3）²-1²=a²+b²-4a-6b+12，
|PO|²=a²+b²．
由|PT|=|PO|，得a²+b²-4a-6b+12=a²+b²．
整理得：2a+3b-6=0．
∴a，b滿足的關系為：2a+3b-6=0；
（2）求|PT|的最小值，就是求|PO|的最小值．
在直線2a+3b-6=0上取一點到原點距離最小，
由“垂線段最短”得，直線OP垂直直線2a+3b-6=0，
由點到直線的距離公式得：
PT的最小值為：$\frac{|-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-6=0}\\{3a-2b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{13}}\\{b=\frac{18}{13}}\end{array}\right.$．
即有P（$\frac{12}{13}$，$\frac{18}{13}$）．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓的位置關系，訓練了點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．