Question

3．給出下列四個(gè)命題：①若a＞b＞0，則$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}$；②若a＞b＞0，則a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}$；③若a＞b＞0，則$\frac{2a+b}{a+2b}$＞$\frac{a}$；④a＞0，b＞0且2a+b=1，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為9．
其中正確命題的序號(hào)是②④（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 根據(jù)a＞b＞0，得出$\frac{1}$＞$\frac{1}{a}$＞0，判斷①錯(cuò)誤；
由a＞b＞0，得出-$\frac{1}{a}$＞-$\frac{1}$，從而得出a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}$，判斷②正確；
由a＞b＞0，得出$\frac{2a+b}{a+2b}$-$\frac{a}$＜0，判斷③錯(cuò)誤；
根據(jù)題意，利用基本不等式得出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$≥9，判斷④正確．

解答 解：對(duì)于①，若a＞b＞0，則ab＞0，
∴$\frac{1}{ab}$＞0，∴$\frac{1}$＞$\frac{1}{a}$＞0，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由①知，若a＞b＞0，則$\frac{1}$＞$\frac{1}{a}$，
∴-$\frac{1}$＜-$\frac{1}{a}$，即-$\frac{1}{a}$＞-$\frac{1}$，
∴a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}$，②正確；
對(duì)于③，若a＞b＞0，則
$\frac{2a+b}{a+2b}$-$\frac{a}$=$\frac{（2a+b）b-a（a+2b）}{b（a+2b）}$
=$\frac{^{2}{-a}^{2}}{（a+2b）b}$
=$\frac{（b+a）（b-a）}{（a+2b）b}$＜0，
∴$\frac{2a+b}{a+2b}$＜$\frac{a}$，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，a＞0，b＞0且2a+b=1，則
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（2a+b）
=4+1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)，∴④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的基本性質(zhì)與基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，考查了推理能力，是中檔題．