Question

1．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，準(zhǔn)線方程是y=-1的拋物線與過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA和直線OB的斜率之和為1，
（1）求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線l的方程；
（3）求直線l與拋物線相交所得的弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2py，由準(zhǔn)線方程是y=-1，可得p=2，即可求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得直線l的方程；
（3）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求直線l與拋物線相交所得的弦AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）據(jù)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸上，所以可設(shè)其方程為x²=2py（p＞0）
準(zhǔn)線$y=-\frac{p}{2}=-1$，則p=2，所以所求拋物線方程為x²=4y．
（2）直線l過(guò)點(diǎn)M（0，1），可設(shè)l方程為y=kx+1，又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線和拋物線方程得$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$，消去y得：x²-4kx-4=0，
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=4k}\\{{x_1}{x_2}=-4}\end{array}}\right.$…（1）
又${k_{OA}}=\frac{y_1}{x_1}，{k_{OB}}=\frac{y_2}{x_2}$根據(jù)已知k_OA+k_OB=1，即$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=1$，∴$\frac{{k{x_1}+1}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+1}}{x_2}=1$，
（2k-1）x₁x₂+（x₁+x₂）=0…（2）
將（1）代入（2）得（2k-1）（-4）+4k=0，解得k=1，
所以，直線方程為  y=x+1
（3）據(jù)（2）知k=1，則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=4}\\{{x_1}{x_2}=-4}\end{array}}\right.$，
所以，$\begin{array}{l}|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+1}\sqrt{{4^2}-4×（-4）}=8\end{array}$
即拋物線的弦AB長(zhǎng)等于8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線的一般式方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及方程思想，屬于中檔題．