Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$，則下列正確的是（　�。�

• A． 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在R上為增函數(shù)
• B． 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在R上為增函數(shù)
• C． 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在R上為減函數(shù)
• D． 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在R上為減函數(shù)

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)判斷，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：由于函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且滿足f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)，
故它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵f′（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$＞0，∴f（x）在R上為增函數(shù)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，函數(shù)的求偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．