Question

一個非空集合中的各個元素之和是3的倍數(shù)，則稱該集合為“好集”．

記集合 {1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的個數(shù)為f(n)．

（1）求f(1)，f(2)的值；

（2）求f(n)的表達式．

Answer 1

 (1)易得f(1)=3；     

當(dāng)n=2時，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：

單元集：{3}，{6}共2個，雙元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5個，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8個，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五個，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2個，還有一個全集．

故f(2)＝1+(2+5)×2+8＝23．       

  (2)首先考慮f(n+1)與f(n)的關(guān)系．

集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}在集合{1，2，3，…，3n}中加入3個元素3n+1，3n+2，3n+3．故f(n+1)的組成有以下幾部分：①原還的f(n)個集合；②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+,3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合計是2³ⁿ；③含有元素是3n+1與3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2與3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+1與3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合計是2³ⁿ；④含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中“好集”與它的并，再加上{3n+1，3n+2，3n+3}。

   所以，f(n+1)＝2 f(n)+2×2³ⁿ+1．         

   兩邊同除以2ⁿ⁺¹，得－＝4ⁿ+，

  所以  ＝4^n-1+4^n-2+…+4+++…++＝+1－，

 即f(n)＝+2ⁿ－1．