Question

【題目】如圖,棱形的邊長(zhǎng)為6, ,.將棱形沿對(duì)角線折起,得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn), .

（Ⅰ）求證：∥平面;

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）求證：平面，這是證明線面平行問題，證明線面平行，即證線線平行，可利用三角形的中位線，或平行四邊形的對(duì)邊平行，本題注意到是的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，因此由三角形的中位線可得，，從而可得平面；（2）求三棱錐的體積，由已知，由題意,可得，從而得平面，即平面，因此把求三棱錐的體積，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積，因?yàn)楦?/span>，求出的面積即可求出三棱錐的體積.

試題解析：（１）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，

所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，

所以是的中位線，. 2分

因?yàn)?/span>平面,平面， 4分

所以平面. 6分

（２）三棱錐的體積等于三棱錐的體積. 7分

由題意，,

因?yàn)?/span>,所以，. 8分

又因?yàn)榱庑?/span>，所以. 9分

因?yàn)?/span>,所以平面，即平面10分

所以為三棱錐的高. 11分

的面積為 ， 13分

所求體積等于 . 14分