Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，焦距為2．（14分）
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）如圖，該直線(xiàn)l：y=k1x﹣ 交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓E上的一點(diǎn)，直線(xiàn)OC的斜率為k2 ， 且看k1k2= ，M是線(xiàn)段OC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半徑為|MC|，OS，OT是⊙M的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知， ，解得a= ，b=1．
∴橢圓E的方程為 ；
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯(lián)立 ，得 ．
由題意得△= ＞0．
， ．
∴|AB|= ．
由題意可知圓M的半徑r為
r= ．
由題意設(shè)知， ，∴ ．
因此直線(xiàn)OC的方程為 ．
聯(lián)立 ，得 ．
因此，|OC|= ．
由題意可知，sin = ．
而 = ．
令t= ，則t＞1， ∈（0，1），
因此， = ≥1．
當(dāng)且僅當(dāng) ，即t=2時(shí)等式成立，此時(shí) ．
∴ ，因此 ．
∴∠SOT的最大值為 ．
綜上所述：∠SOT的最大值為 ，取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意得關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標(biāo)的和與積，由弦長(zhǎng)公式求得|AB|，由題意可知圓M的半徑r，則r= ．由題意設(shè)知 ．得到直線(xiàn)OC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可得|OC|，由題意可知，sin = ．轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1的函數(shù)，換元后利用配方法求得∠SOT的最大值為 ，取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率為 ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值域和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．