已知四棱錐P-ABCD,PC⊥底面ABCD,PC=2,且底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,E是側(cè)棱PC上的 一點(diǎn),點(diǎn)F在線段BD上,且滿(mǎn)足DF=3BF,若EF∥平面PAB.
(1)求
PE
EC
的值;
(2)求二面角B-EF-C的余弦值.
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)
專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)以C為原點(diǎn),CD為x軸,CB為y軸,CP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出
PE
EC

(2)由(1)得E(0,0,
3
2
),求出平面EFB的法向量和平面EFC的法向量,利用向量法能求出二面角B-EF-C的余弦值.
解答: 解:(1)以C為原點(diǎn),CD為x軸,CB為y軸,CP為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)CE=t,由已知得E(0,0,t),F(xiàn)(
1
4
3
4
,0),
P(0,0,2),A(1,1,0),B(0,1,0),
PA
=(1,1,-2)
PB
=(0,1,-2),
設(shè)平面PAB的法向量
n
=(x,y,z),
n
PB
=y-2z=0
n
PA
=x+y-2z=0
,
取z=1,得
n
=(0,2,1),
EF
=(
1
4
,
3
4
,-t
),
∵EF∥平面PAB,
EF
n
=
3
2
-t=0
,解得t=
3
2
,
PE
EC
=
2-
3
2
3
2
=
1
3

(2)由(1)得E(0,0,
3
2
),
EF
=(
1
4
,
3
4
,-
3
2
),
EB
=(0,1,-
3
2
),
EC
=(0,0,-
3
2
),
設(shè)平面EFB的法向量
m
=(a,b,c),
m
EF
=
1
4
a+
3
4
b-
3
2
c=0
m
EB
=b-
3
2
c=0
,
取c=2,得
m
=(3,3,2),
設(shè)平面EFC的法向量
p
=(x1,y2,z3),
p
EF
=
1
4
x1+
3
4
y1-
3
2
z1=0
p
EC
=-
3
2
z1=0

取y1=-1,得
p
=(3,-1,0),
設(shè)二面角B-EF-C的平面角為θ,
cosθ=|cos<
m
p
>|=|
9-3+0
22
10
|=
3
55
55

∴二面角B-EF-C的余弦值為
3
55
55
點(diǎn)評(píng):本題考查線段的比值的求法,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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若(3x+
1
x
n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024,試確定展開(kāi)式中含x的整數(shù)次冪的項(xiàng).

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若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為2p,則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( 。
A、p
B、2p
C、
3
2
p
D、
5
2
p

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如圖的幾何體是長(zhǎng)方體A BCD-A1B1C1D1的一部分,其中A B=AD=3,DD1=BB1=2cm則該幾何體的外接球的表面積為( 。
A、11πcm2
B、22πcm2
C、
11
22
3
cm2
D、11
22
πcm2

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M是橢圓
x2
12
+
y2
3
=1
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2y
2x-5
(x≠
5
2
)的取值范圍.

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