Question

4．已知雙曲線mx²-ny²=1（m＞0、n＞0）的離心率為2，則橢圓mx²+ny²=1的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得離心率，化簡(jiǎn)可得m=3n，再將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，代入離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線mx²-ny²=1即為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$=1，
可得離心率為$\frac{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}{\sqrt{\frac{1}{m}}}$=2，
化簡(jiǎn)可得m=3n，
則橢圓mx²+ny²=1即為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$=1，
可得離心率為$\frac{\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}$=$\sqrt{1-\frac{n}{m}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．