Question

14．直線y=b與函數(shù)f（x）=x-1nx的圖象交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，其橫坐標(biāo)為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）證明：x₁x₂²＜2．

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式，確定出f（x）的定義域，對其求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間和最值．
（2）構(gòu)造新的函數(shù)g（x）和F（x），對F（x）求導(dǎo)后通過對x進(jìn)行分類討論，得到答案．

解答 解；（1）∵f（x）=x-1nx
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$
∴f′（x）＜0時(shí)，x∈（0，1）
∴f（x）的遞增區(qū)間是（1，+∞），遞減區(qū)間是（0，1）
f（x）的最小值是f（1）=1
（2）由（1）知，x₁＜1＜x₂
構(gòu)造新函數(shù)g（x）的圖象使其與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
得g（x）=f（2-x）=2-x-ln（2-x），
令F（x）=f（x）-g（x）=2x-2-lnx+ln（2-x）
得F′（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x（x-2）}$
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，知F′（x）＞0，即F（x）是減函數(shù)，
而F（x）＜F（1）=0
∴f（x）＜g（x）
從而f（x₂）＜g（x₂）
∵g（x₂）=f（2-x₂）
∴f（x₂）＜f（2-x₂）
又由x₂＞1，∴2-x₂＜1，
∴x₁＞2-x₂
∴${x}_{1}{{x}_{2}}^{2}$＞（2-x₂）${{x}_{2}}^{2}$=$-{{x}_{2}}^{3}$+2${{x}_{2}}^{2}$
令h（x）=$-{{x}_{2}}^{3}$+2${{x}_{2}}^{2}$
∴h′（x）=-3${{x}_{2}}^{2}$+4x₂
在x=$\frac{4}{3}$處取得最大值，
最大值為$\frac{32}{27}$
∴x₁x₂²＜2

點(diǎn)評 本題考查由解析式，確定出f（x）的定義域，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間和最值．構(gòu)造新的函數(shù)g（x）和F（x），對F（x）求導(dǎo)后通過對x進(jìn)行分類討論，得到答案．