Question

13．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，M為AB的中點．
（Ⅰ）證明：平面PMD⊥平面PAB
（Ⅱ）N為PC上一點，且AC⊥BN，PA=AB=2，求三棱錐N-BCD的體積．

Answer 1

分析 （I）連結BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥DM，由四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°可知△ABD為等邊三角形，故DM⊥AB，于是DM⊥平面PAB，從而得出平面PMD⊥平面PAB；
（Ⅱ）設AC與BD的交點為O，連接NO．則AC⊥BD，又AC⊥BN，故AC⊥平面BNO，所以AC⊥NO，又PA⊥AC，所以PA∥NO，得出N為PC中點，于是V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•NO$．

解答 證明：（I）連結BD．
∵PA⊥平面ABCD，DM?平面ABCD，
∴PA⊥DM，
又四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∵M為AB中點，∴DM⊥AB，
又PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DM⊥平面PAB，又DM?平面PMD，
∴平面PMD⊥平面PAB．
（Ⅱ）設AC與BD的交點為O，連接NO．
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
又AC⊥BN，NB?平面BON，BO?平面BON，BO∩BN=B，
∴AC⊥平面BNO，∵NO?平面BON，
∴AC⊥NO，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
又PA、NO在同一平面PAC內，
∴PA∥NO，又O為AC中點，
∴N為PC中點，
∴NO=$\frac{1}{2}$PA=1，NO⊥平面ABCD，
∴V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•NO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．