Question

19．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3），則|PQ|+|PF₁|的最小值為7．

Answer 1

分析 依題意，可求得F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），P在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=4，可求得|PF₁|=|PF₂|+4，從而可求得|PF₁|+|PQ|的最小值．

解答 解：由雙曲線方程得a=1，c=2
∵P在雙曲線的右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2，
∴|PF₁|=|PF₂|+2，
又雙曲線右焦點(diǎn)F₂（2，0），
∴|PF₁|+|PQ|=|PF₂|+4+|PQ|≥|QF₂|+2
=$\sqrt{（-2-2）^{2}+{3}^{2}}$+2═5+2=7，（當(dāng)且僅當(dāng)Q、P、F₂三點(diǎn)共線時取“=”）．
則|PQ|+|PF₁|的最小值為7．
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，利用雙曲線的定義將|PF₁|轉(zhuǎn)化為|PF₂|+2是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與應(yīng)用不等式的能力，屬于中檔題．