Question

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)y=2x+1-2的圖象上.

(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2) 設(shè)數(shù)列{bn}滿足:b1=0,bn+1+bn=an(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式;

(3) 在第(2)問的條件下,若對于任意的n∈N*,不等式bn<λbn+1恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

 (1) 由題意可知,Sn=2n+1-2. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n;

當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=21+1-2=2也滿足上式.

所以an=2n(n∈N*).

(2) 由(1)可知bn+1+bn=2n(n∈N*),即bk+1+bk=2k(k∈N*).

當(dāng)k=1時(shí),b2+b1=21 ①;

當(dāng)k=2時(shí),b3+b2=22,所以-b3-b2=-22 ②;

當(dāng)k=3時(shí),b4+b3=23 ③;

當(dāng)k=4時(shí),b5+b4=24,所以-b5-b4=-24 ④;

……

當(dāng)k=n-1時(shí)(n為偶數(shù)),bn+bn-1=2n-1.

以上n-1個(gè)式子相加,得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1===+.

又b1=0,所以,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=+.

同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn+bn-1=2n-1,所以-bn-bn-1=-2n-1,所以-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1==,

bn=-.

因此,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),數(shù)列的前n項(xiàng)和

Tn=b1+b2+…+bn

=+++++…+

=++…+=·

=-;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),數(shù)列的前n項(xiàng)和

Tn=b1+b2+…+bn-1+bn

=++…++

=-

=-.

故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=

(3) 由(2)可知bn=

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),===+,所以隨n的增大而減小,

從而,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),的最大值是=1.

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),===-,

所以隨n的增大而增大, 且=-<<1.

綜上,的最大值是1.

因此,若對于任意的n∈N*,不等式bn<λbn+1恒成立,只需λ>1,

故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(1,+∞).