Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2+（-$\frac{1}{3}$）^n-1，若對(duì)任意的n∈N^*，都有1≤p（S_n-2n）≤3，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是$[\frac{3}{2}，3]$．

Answer 1

分析 通過(guò)a_n=2+（-$\frac{1}{3}$）^n-1，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可知S_n-2n=$\frac{3}{4}$[1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$]，進(jìn)而可知1≤$\frac{1}{{S}_{n}-2n}$≤$\frac{3}{2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2+（-$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴S_n=2n+$\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n}}{1-（-\frac{1}{3}）}$=2n+$\frac{3}{4}$[1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$]，
∵S_n-2n=$\frac{3}{4}$[1-$（-\frac{1}{3}）^{n}$]，
∴S₁-2=1，S₂-4=$\frac{2}{3}$，$\underset{lim}{n→∞}$（S_n-2n）=$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{2}{3}$≤S_n-2n≤1，
∴1≤$\frac{1}{{S}_{n}-2n}$≤$\frac{3}{2}$，
又∵對(duì)任意的n∈N^*，都有1≤p（S_n-2n）≤3，
∴對(duì)任意的n∈N^*，都有$\frac{1}{{S}_{n}-2n}$≤p≤$\frac{3}{{S}_{n}-2n}$，
∴p∈$[\frac{3}{2}，3]$，
故答案為：$[\frac{3}{2}，3]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．