Question

13．有4名男生，3名女生排成一排，
（1）要求女生必須站在在一起，有多少種不同的排法？
（2）若3名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？
（3）若甲男生不站在排頭，乙女生不站在排尾，則有多少種不同排法？

Answer 1

分析 （1）捆綁法：把3名女生看作1個元素與其它排列，由分步計數(shù)原理可得；
（2）插空法：先排4名男生，在把3名女生插到所產(chǎn)生的5個空位，由分步計數(shù)原理可得；
（3）將排法分成兩類，一類是甲站在排尾，其余的可全排，有$A_6^6$種排法；另一類是甲既不站排尾又不站排頭，有$A_5^1$種排法，乙不站排尾而站余下的5個位置中一個，有$A_5^1$種排法，其余人全排列．

解答 解：（1）女生必須站在一起，是女生的全排列，有$A_3^3$種排法．全體女生視為一個元素與其他男生全排列有$A_5^5$種排法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有$A_3^3•A_5^5=720$（種）；
（2）分兩步，第一步：男生的全排列有$A_4^4$種排法；第二步：男生排好后，男生之間有3個空，加上男生排列的兩端共5個空，女生在這5個空中排列，有$A_5^3$種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有$A_4^4•A_5^3=1440$（種）；
（3）將排法分成兩類，一類是甲站在排尾，其余的可全排，有$A_6^6$種排法；另一類是甲既不站排尾又不站排頭，有$A_5^1$種排法，乙不站排尾而站余下的5個位置中一個，有$A_5^1$種排法，其余人全排列，于是這一類有$A_5^1•A_5^1•A_5^{51}$種排法，有分類加法計數(shù)原理知，共有$A_6^6$+$A_5^1•A_5^1•A_5^5$=3720（種）

點評 本題考查排列組合及簡單的計數(shù)問題，涉及間接法和捆綁，插空等方法的應用，屬中檔題．