Question

11．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-ax，x＜0}\end{array}\right.$g（x）=e^x-1，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））與點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線垂直得到斜率之積為-1，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x+1}$，
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-a，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））與點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線互相垂直，
∴f′（1）f′（-1）=0，
即$\frac{a}{2}$•（1-a）=-1，
得a=2或a=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．