Question

2．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜4；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值為a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為-4＜2x-1＜4，解出即可；（2）求出g（x）的最小值，得到m+n=2，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出其范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）＜4知|2x-1|＜4，
于是-4＜2x-1＜4，
解得$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{5}{2}$，
故不等式f（x）＜2的解集為$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．
（2）由條件得g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
當且僅當$x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$時，其最小值a=2，即m+n=2．
又$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）=\frac{1}{2}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，
所以$\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}=m+n+\frac{2}{m}+\frac{1}{n}≥2+\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）=\frac{{7+2\sqrt{2}}}{2}$，
故$\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}$的取值范圍為$[{\frac{{7+2\sqrt{2}}}{2}，+∞}）$，
此時$m=4-2\sqrt{2}$，$n=2\sqrt{2}-2$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查基本不等式性質(zhì)，是一道中檔題．