10.設(shè)把滿足條件“對任意的s,t∈(一1,1)且s≠t.都有|f(s)-f(t)|≤3|s-t|”的函數(shù)f(x)組成的集合記作集合G.
(1)分別判斷函數(shù)f1(x)=$\sqrt{1+{x}^{2}}$,f2(x)=log2(1+x)是否屬于集合G:
(2)若f3(x)=ax2+bx且f3(x)∈G.求證:當(dāng)x∈(-2,2)時,|f3(x)|≤6.

分析 (1)由新定義判斷函數(shù)f1(x)=$\sqrt{1+{x}^{2}}$,f2(x)=log2(1+x),是否滿足對任意x1,x2∈(-1,1)時,都有|f(x1)-f(x2)|≤3|x1-x2|.運(yùn)用分子有理化和絕對值不等式的性質(zhì),即可得到結(jié)論;
(2)由題意可得|f1(x1)-f1(x2)|≤3|x1-x2|,即有|x1-x2|•|a(x1+x2)+b|≤3|x1-x2|,即為|a(x1+x2)+b|≤3,再由絕對值不等式的性質(zhì),即可得證.

解答 解:(1)對于f1(x)=$\sqrt{1+{x}^{2}}$,對任意x1,x2∈(-1,1),
|f1(x1)-f1(x2)|=|$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$|=|$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|=|$\frac{{{(x}_{1}}^{\;}-{{x}_{2}}^{\;})({x}_{1}+{x}_{2})}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|,$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$>|x1|+|x2|≥|x1+x2|
$\left|\frac{{{(x}_{1}}^{\;}-{{x}_{2}}^{\;})({x}_{1}+{x}_{2})}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}\right|$<|x1-x2|<3|x1-x2|
|f1(x1)-f1(x2)|<3|x1-x2|
函數(shù)f1(x)=$\sqrt{1+{x}^{2}}$,屬于集合G:
對于f(x)=log2(1+x)對任意x1,x2∈(-1,1),
|f1(x1)-f1(x2)|=|log2(1+x1)-log2(1+x2)|=|log2$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$|,
∵1+x1∈(0,2),1+x2∈(0,2),
$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}∈[0,+∞)$,|log2$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$|∈R,不滿足:|log2(1+x1)-log2(1+x2)|≤3|x1-x2|
故f2(x)=log2(1+x)不屬于集合G.
(2)證明:f3(x)=ax2+bx且f3(x)∈G.
可得|f1(x1)-f1(x2)|≤3|x1-x2|,
即為|ax12+bx1-ax22-bx2|≤3|x1-x2|,
即有|x1-x2|•|a(x1+x2)+b|≤3|x1-x2|,
即為|a(x1+x2)+b|≤3,(x1,x2∈(-1,1))
當(dāng)x∈(-2,2)時,|f3(x)|=|ax2+bx|=|x|•|ax+b|≤2×3=6,
則有當(dāng)x∈(-2,2)時,|f3(x)|≤6.

點(diǎn)評 此題屬于新概念的問題,題中考查了絕對值不等式的應(yīng)用.對于此類型的題目需要對題目概念做認(rèn)真分析再做題.屬于中檔題.

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