Question

15．設(shè)f（x）=mx²+3（m-4）x-9．
（1）試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若滿足f（1-x）=f（1+x），求m的值；
（3）若m=1時(shí)，x∈[0，2]上存在x使f（x）-a＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對二次項(xiàng)系數(shù)討論，分類判斷；
（2）由題意可知f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，二次函數(shù)的對稱軸-$\frac{3（m-4）}{2m}$=1，求出m的值；
（3）原命題等價(jià)于f（x）-a＞0有解，即f（x）＞a有解，故只需a小于f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-12x-9為一次函數(shù)，有唯一零點(diǎn)
②當(dāng)m≠0時(shí)，由△=9（m-4）²+36m=9（m-2）²+108＞0故f（x）必有兩個(gè)零點(diǎn)
（2）由條件可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴-$\frac{3（m-4）}{2m}$=1，且m≠0，
解得：m=$\frac{12}{5}$；
（3）依題原命題等價(jià)于f（x）-a＞0有解，即f（x）＞a有解
∴a＜f（x）_max
∵f（x）在[0，2]上遞減，
∴f（x）_max=f（0）=-9，
故a的取值范圍為a＜-9．

點(diǎn)評 考查了二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)的分類討論和區(qū)間內(nèi)有解問題，需要對題意理解到位．