Question

5．如圖，一根木棒AB長(zhǎng)為2米，斜靠在墻壁AC上，∠ABC=60°，若AB滑動(dòng)至A₁B₁位置，且AA₁=（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）米，則AB中點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的路程為$\frac{π}{12}$米．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DE=CO′，即O運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線是一段圓弧；在Rt△ACB中，根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系得到∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，則易求出CD=CA-DA=$\sqrt{2}$，即可得到△DCE為等腰直角三角形，得到∠DEC=45°，則∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：連接CO、CO′，如圖，
∵CA⊥CB，O為AB中點(diǎn)，O′為DE的中點(diǎn)，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DE=CO′，
∵AB=2，
∴CO=1，
當(dāng)A端下滑B端右滑時(shí)，AB的中點(diǎn)O到C的距離始終為定長(zhǎng)1，
∴O運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線是一段圓弧，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，
∵AD=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
CD=CA-AD=$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$，
∴sin∠DEC=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DEC=45°，
∴∠DCO′=45°
∴∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，
∴弧OO′的長(zhǎng)=$\frac{15π}{180}$=$\frac{π}{12}$，
即O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O′所經(jīng)過(guò)路線OO′的長(zhǎng)為$\frac{π}{12}$米．
故答案為：$\frac{π}{12}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是明確AB中點(diǎn)在以C為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，考查了弧長(zhǎng)公式及直角三角形中的邊角關(guān)系，是中檔題．