Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），且a₂=6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

an

n+c

（n∈N^*，c為非零常數(shù)），若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，記c_n=

bn

2n

，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把式子“

an+1+an-1

an+1-an+1

=n”得（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1），當(dāng)n≥2時(shí)兩邊同時(shí)除以（n+1）（n-1），再進(jìn)行變形利用疊加法求出a_n，驗(yàn)證：a₁=1，a₂=6是否成立；
（2）由題意求出前三項(xiàng)，再根據(jù)等差中項(xiàng)求出c的值，求出b_n=2n，再求出c_n，由錯(cuò)位相減法求出S_n=c₁+c₂+…+c_n的表達(dá)式．

解答： 解：（1）由

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，得（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1），
當(dāng)n≥2時(shí)，有

an+1

n+1

-

an

n-1

=-

1

n-1

，…（3分）
所以，

an+1

n(n+1)

-

an

n(n-1)

=-

1

n(n-1)

=-（

1

n-1

-

1

n

），…（6分）
由疊加法，得當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=n（2n-1）．                  …（8分）
把n=1，a₂=6代入

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，得a₁=1，經(jīng)驗(yàn)證：a₁=1，a₂=6均滿足a_n=n（2n-1）．
綜上，a_n=n（2n-1），n∈N*．        …（10分）
（2）由（1）可知：b_n=

n(2n-1)

n+c

，于是b₁=

1

1+c

，b₂=

6

2+c

，b₃=

15

3+c

，
由數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，得b₁+b₃=2b₂，
即

1

1+c

+

15

3+c

=

12

2+c

，解得c=-

1

2

（c=0舍去）．
所以，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．所以c=-

1

2

滿足題意．
此時(shí)，b_n=2n…（13分）
所以，c_n=

bn

2n

=

n

2n-1

．
所以S_n=1+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①
則

1

2

S_n=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

S_n=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

得S_n=4-

n+2

2n-1

          （16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法和疊加法，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，熟練掌握公式和數(shù)學(xué)方法是解題的關(guān)鍵．