Question

15．已知${∫}_{-1}^{1}$（x³+ax+3a-b）dx=2a+6，且f（t）=${∫}_{0}^{t}$（x³+ax+3a-b）dx為偶函數(shù)，求a，b的值．

Answer 1

分析 先由${∫}_{-1}^{1}$（x³+ax+3a-b）dx=2a+6，得到2a-b=3，再由f（t）=${∫}_{0}^{t}$（x³+ax+3a-b）dx為偶函數(shù)，得出3a-b=0，聯(lián)立方程組即可得到答案．

解答 解：∵${∫}_{-1}^{1}$（x³+ax+3a-b）dx=2a+6，
即（$\frac{1}{4}$x⁴+3ax-bx）|_-1¹=2a+6，
∴6a-2b=2a+6，即2a-b=3，①
又∵f（t）=${∫}_{0}^{t}$（x³+ax+3a-b）dx
=（$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{2}$ax²+3ax-bx）${|}_{0}^{t}$=$\frac{1}{4}$t⁴+$\frac{1}{2}$at²+3at-bt為偶函數(shù)，
∴3a-b=0，②
由①②得：a=-3，b=-9．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查定積分、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、方程組的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．