Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)ω＞0使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱(chēng)f（x）為“條件約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=4x；
②f（x）=x²+2；
③f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-2x+5}$；
④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切x₁，x₂均有f（x₁）-f（x₂）≤4|x₁-x₂|．
其中是“條件約束函數(shù)”的序號(hào)是①③④（寫(xiě)出符合條件的全部序號(hào)）．

Answer 1

分析 用F函數(shù)的定義加以驗(yàn)證，對(duì)于①③④⑤均可以找到常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，說(shuō)明它們是“條件約束函數(shù)”．而對(duì)于②，當(dāng)x→0時(shí)，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，所以不存在常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故它們不符合題意．

解答 解：對(duì)于①，f（x）=4x，易知存在ω=4＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意；是“條件約束函數(shù)”．
對(duì)于②用F函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn)：因?yàn)閤→0時(shí)，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，所以不存在常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，不符合題意，不是“條件約束函數(shù)”．
對(duì)于③，因?yàn)閨f（x）|=$\frac{2\left|x\right|}{{x}^{2}-2x+5}$=$\frac{2\left|x\right|}{{（x-1）}^{2}+4}$≤$\frac{1}{2}$|x|，所以存在常數(shù)ω=$\frac{1}{2}$＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，③是“條件約束函數(shù)”．
對(duì)于④，f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|得到，
|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意．
是“條件約束函數(shù)”．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域和值域的問(wèn)題，屬于中檔題．題中“條件約束函數(shù)”的實(shí)質(zhì)是函數(shù)f（x）與x的比值對(duì)應(yīng)的函數(shù)是有界的，抓住這一點(diǎn)不難解出．