Question

6．如圖，正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面C₁CDD₁；
（2）在線段A₁B上是否存在點(diǎn)G，使得EG⊥平面A₁BC₁？若存在，求二面角A₁-C₁G-C的平面角的余弦值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過E作EH∥CD，連接FH，只要證明平面EFH∥平面C₁CDD₁即可；
（2）假設(shè)在線段A₁B上存在點(diǎn)G，使得EG⊥平面A₁BC₁；設(shè)正方體的棱長為2，以A原點(diǎn)，AB，AD，AA₁所在直線分別為x，y，z軸，分別求出平面A₁BC₁？的法向量以及$\overrightarrow{EG}$的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積解答．

解答 證明：（1）過E作EH∥CD，連接FH，
則FH∥CC₁，
所以平面EFH∥平面C₁CDD₁；
所以EF∥平面C₁CDD₁；
（2）假設(shè)在線段A₁B上存在點(diǎn)G，使得EG⊥平面A₁BC₁；設(shè)正方體的棱長為2，
以A原點(diǎn)，AB，AD，AA₁所在直線分別為x，y，z軸，如圖：
則$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（2，2，2），
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
G（a，0，c），則$\overrightarrow{EG}$=（a，-1，c），要使EG⊥平面A₁BC₁，只要$\overrightarrow{n}∥\overrightarrow{EG}$，
所以$\frac{1}{a}=\frac{-2}{-1}=\frac{1}{c}$，所以a=c=$\frac{1}{2}$，所以在線段A₁B上存在點(diǎn)G，使得EG⊥平面A₁BC₁；
由以上可知$\overrightarrow{n}$是平面A₁GC₁的一個法向量；
設(shè)平面CGC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x'，y'，z'），則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=0$且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CG}=0$，所以$\left\{\begin{array}{l}{2z′=0}\\{\frac{3}{2}x′+3y′-\frac{1}{2}z′=0}\end{array}\right.$，令y'=1，則$\overrightarrow{m}$=（-2，1，0）為平面CGC₁的一個法向量，
所以二面角A₁-C₁G-C的平面角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{6}\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查證明線面平行的方法，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)為線線平行解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．