Question

16．給出下列命題：
①命題：“?x₀＞0，sinx₀≤x”的否定是：“?_x＞0，sinx＞x”；
②函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π））的最小值是2$\sqrt{2}$；
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形；
④設(shè)m，n為直線，α為平面，若m∥n，m∥α，則n∥α．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用命題的否定定義即可判斷正誤；
②函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π）），令sinx=t∈（0，1），則g（t）=t+$\frac{2}{t}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值，即可判斷正誤；
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，即可判斷正誤；
④由條件可得：n∥α或n?α，即可判斷正誤．

解答 解：①命題：“?x₀＞0，sinx₀≤x”的否定是：“?x＞0，sinx＞x”，正確；
②函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π）），令sinx=t∈（0，1]，則g（t）=t+$\frac{2}{t}$，g′（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，
因此函數(shù)g（t）在（0，1]單調(diào)遞減，有最小值3，因此不正確；
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC是等腰或直角三角形，正確；
④設(shè)m，n為直線，α為平面，若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，因此不正確．
其中正確命題的個數(shù)是2．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解三角形、線面平行的判定定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．