Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且3S_n+a_n-3=0，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{2}$log₂（1-S_n+1），求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過3S_n+a_n-3=0與3S_n-1+a_n-1-3=0作出可知a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，進而可知數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{3}{4}$、公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵3S_n+a_n-3=0，
∴當n≥2時，3S_n-1+a_n-1-3=0，
兩式相減得：a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，
又∵3S₁+a₁-3=0，即a₁=$\frac{3}{4}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{3}{4}$、公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，
故其通項公式a_n=$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{3}{{4}^{n}}$；
（2）由（1）可知1-S_n+1=1-$\frac{1}{3}$（3-a_n+1）=$\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$log₂（1-S_n+1）=-n-1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，涉及對數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．