Question

已知函數(shù)f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

，若a，b∈[-1，5]，且當(dāng)x₁，x₂∈[a，b]時，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則b-a的最大值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

分段求出g（x），分析其單調(diào)性，由x₁，x₂∈[a，b]時，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立說明函數(shù)在[a，b]上為增函數(shù)，求出a為0，b等于5，則b-a的最大值可求．

解答： 解：∵a，b∈[-1，5]，且x₁，x₂∈[a，b]，
∴a＜b，
∵

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0恒成立，
∴g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)第增，
∵函數(shù)f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=

1

3

x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

+

|f1(x)-f2(x)|

2

，
∴g（x）=

f1(x)，x∈[-1，0]∪[3，5] f2(x)，x∈[0，3]

當(dāng)x∈[-1，0）時，g（x）=1-x，單調(diào)減；
當(dāng)x∈[0，3]時，g（x）=

1

3

x+1，單調(diào)增；
當(dāng)x∈[3，5]時，g（x）=x-1，單調(diào)遞增．
∴a=0，b=5．
b-a的最大值為5-0=5．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解得的關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．