Question

平面內與兩定點A（-a，0），B（a，0）（a＞0）的連線的斜率之積等于-

1

a2

的點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）點S是直線x=a上的點，且S在x軸上方，連結AS交曲線C于點T，點M是以SB為直徑的圓與線段BT的交點，試問：是否存在實數a，使得O、M、S三點共線？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設P（x，y），由已知得k_PA•k_PB=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=-

1

a2

，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）由已知點M在直線OS上，OS⊥BT，設S（a，t），AS：y=

t

2a

(x+a)，聯(lián)立

y= t 2a (x+a) x2+a2y2=a2

，得T（

4-t2

t2+4

a，

4t

t2+4

），
由此能求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）設P（x，y），∵A（-a，0），B（a，0）（a＞0），
∴k_PA•k_PB=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=-

1

a2

，
整理，得曲線C的方程為

x2

a2

+y2=1．
（Ⅱ）∵O、M、S三點共線，∴點M在直線OS上，
∴SM⊥BM，∴OS⊥BT，
設S（a，t），AS：y=

t

2a

(x+a)，
聯(lián)立

y= t 2a (x+a) x2+a2y2=a2

，得（t²+4）x²+2at²x+a²t²-4a²=0，
∴-a+x_T=-

2at2

t2+4

，∴T（

4-t2

t2+4

a，

4t

t2+4

），
∴k_OS•k_BT=

t

a

•

4t t2+4

( 4-t2 t2+4 -1)a

=-1，
解得a=

2

或a=-

2

（舍）．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．