Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)AP=AB=1，AD=

3

，求點(diǎn)P到平面AEC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO，OE為△PBD的中位線，由此能證明PB∥平面AEC．
（2）由已知P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等，從而V_P-AEC=V_B-AEC=V_E-ABC，由此能求出P到平面AEC的距離．

解答： （1）證明：連結(jié)BD交AC與點(diǎn)O，連結(jié)EO，
∵底面ABCD為矩形，∴O為BD的中點(diǎn)
又∵E為PD的中點(diǎn)∴OE為△PBD的中位線，
則OE∥PB，…（4分）
又OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．…（6分）
（2）解：∵PB∥平面AEC，
∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等，
∴V_P-AEC=V_B-AEC=V_E-ABC，…（8分）
又S_△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，且E到平面ABC的距離為

1

2

PA=

1

2

，
AC=2，EC=

2

，AE=1，∴S_△AEC=

7

4

…（10分）
設(shè)P到平面AEC的距離為h，
則

1

3

×

7

4

×h=

1

3

×

3

2

×

1

2

，解得h=

21

7

∴P到平面AEC的距離為

21

7

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．