Question

16．判斷并證明f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，用單調(diào)性定義證明即可．

解答 解：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+1}$）-（1-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$）
=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+1}$
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$；
當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，${{x}_{1}}^{2}$+1＞0，${{x}_{2}}^{2}$+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用單調(diào)性的定義法證明函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時(shí)應(yīng)該嚴(yán)格按照證明步驟進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．