Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，若將f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移$\sqrt{3}$個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的對稱軸及單調增區(qū)間；
（3）若對任意x∈[0，$\frac{π}{3}$]，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的周期和函數(shù)的奇偶性確定參數(shù)值即可確定函數(shù)的解析式；
（2）結合（1）的結論結合正弦函數(shù)的性質即可求得最終結果；
（3）分離參數(shù)，求得f（x）-1的范圍，然后結合對勾函數(shù)的性質找到最值，據(jù)此即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由$\frac{2π}{ω=2×\frac{π}{2}}$ 可得：ω=2，則 f（x）=sin（2x+φ）+b，
又$g（x）=sin[2（x-\frac{π}{6}）+φ]-b+\sqrt{3}$ 為奇函數(shù)，且0＜φ＜π，則$φ=\frac{π}{3}，b=\sqrt{3}$，
故$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$．
（2）結合（1）的結論可得對稱軸滿足：$2x+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
據(jù)此可得對稱軸方程為：$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
函數(shù)的增區(qū)間滿足$2x+\frac{π}{3}∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]（k∈Z）$，
故增區(qū)間為$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]（k∈Z）$．
（3）由于$x∈[0，\frac{π}{3}]$，故$-\sqrt{3}≤f（x）≤1-\sqrt{3}，-1-\sqrt{3}≤f（x）-1≤-\sqrt{3}$，
而f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0 恒成立，整理可得$m≤\frac{1}{f（x）-1}+f（x）-1$，
由$-1-\sqrt{3}≤f（x）-1≤-\sqrt{3}$，得：$\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}≤\frac{1}{f（x）-1}+f（x）-1≤-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故$m≤\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}$，即m取值范圍是$（-∞，\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}）$．

點評 本題考查三角函數(shù)的性質，三角函數(shù)解析式的求解，恒成立問題，對勾函數(shù)的性質等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．